二叉树
1 重点概念
1.1 节点概念
节点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。
2 树
2.1 定义
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中： 1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点； 2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点： 1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。 2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
2.2 结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
节点的度：结点拥有的子树数目称为结点的度，叶子结点 就是度为0的结点
3 二叉树
3.1 定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
一棵典型的二叉树如下图所示：
3.2 二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点： 1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。 2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。 3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
3.3 二叉树性质
1）在二叉树的第i层上最多有2(i-1) 个节点 。（i>=1） 2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2(k)-1个节点。(k>=1） 3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。 4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。 5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点； (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
3.4 斜树
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
图3.2 左斜树
图3.3 右斜树
3.5 满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。 满二叉树的特点有： 1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2）非叶子结点的度一定是2。 3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
3.6 完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。 图3.5展示一棵完全二叉树
图3.5 完全二叉树
特点： 1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。 2）最下层的叶子结点集中在树的左部。 3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。 4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。 5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。 注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
3.7 二叉树的存储结构
3.7.1 顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
图3.6
图3.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图3.7表示：
图3.7 顺序存储
由图3.7可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。 那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？
例如：对于图3.8描述的二叉树：
图3.8.png
其中浅色结点表示结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储结构如图3.9所示：
图3.9
其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。 那么对于图3.3所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图3.10所示：
图3.10
由图3.10可以看出，对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
3.7.2 二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图3.11所示：
图3.11
定义结点代码：
typedef struct BiTNode{
TElemType data;//数据
struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;
则图3.6所示的二叉树可以采用图3.12表示。
图3.12
图3.12中采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。
3.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。
3.8.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。 二叉树的访问次序可以分为四种：
前序遍历 中序遍历 后序遍历 层序遍历
前，中，后只是指父节点遍历的顺序，前序就是 父节点->左子树->右子树，中序是 左子树->父节点->右子树，后序是 左子树 -> 右子树 ->父节点
3.8.2 前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
3.13
图3.13所示二叉树访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A; 继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B； 按照同样规则，输出D，输出H； 当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I； I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E； 向E左子树，故输出J； 按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
则3.13所示二叉树的前序遍历输出为： ABDHIEJCFG
3.8.3 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图3.13所示二叉树中序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H； 到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H； H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D； 由D返回至B，第二次到达B，故输出B； 按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则3.13所示二叉树的中序遍历输出为： HDIBJEAFCG
3.8.4 后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图3.13所示二叉树后序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H； 到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H； H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H； 由H返回至D，第二次到达D，不输出D； 继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I； 返回至D，此时第三次到达D，故输出D； 按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
则图3.13所示二叉树的后序遍历输出为： HIDJEBFGCA
虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。 递归实现代码如下：
/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
PreOrderTraverse(T->lchild); /*再先序遍历左子树*/
PreOrderTraverse(T->rchild); /*最后先序遍历右子树*/
}
/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}
/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /*先后序遍历左子树*/
PostOrderTraverse(T->rchild); /*再后续遍历右子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
}
3.8.5 层次遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图3.13所示二叉树的层次遍历结果为： ABCDEFGHIJ 层次遍历的详细方法可以参考二叉树的按层遍历法。
3.8.6 遍历常考考点
对于二叉树的遍历有一类典型题型。 1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。 例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。 分析：前序遍历第一个输出结点为根结点，故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点A的左子树中结点有CB，右子树中结点有EDF。 如图3.14所示：
图3.14
按照同样的分析方法，对A的左右子树进行划分，最后得出二叉树的形态如图3.15所示：
图3.15.png
2）已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。 后序遍历中最后访问的为根结点，因此可以按照上述同样的方法，找到根结点后分成两棵子树，进而继续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的形态。 注：已知前序遍历序列和后序遍历序列，不可以唯一确定一棵二叉树。
平衡二叉树
平衡二叉树的提出就是为了保证树不至于太倾斜，尽量保证两边平衡。因此它的定义如下：
- 平衡二叉树要么是一棵空树
- 要么保证左右子树的高度之差不大于 1
- 子树也必须是一颗平衡二叉树
也就是说，树的两个左子树的高度差别不会太大。
那我们接着看前面的极端情况的二叉排序树，现在用它来构造一棵平衡二叉树。
以 12 为根节点，当添加 24 为它的右子树后，根节点的左右子树高度差为 1，这时还算平衡，这时再添加一个元素 28：
这时根节点 12 觉得不平衡了，我左孩子一个都没有，右边都有俩了，超过了之前说的最大为 1，不行，给我调整！
于是我们就需要调整当前的树结构，让它进行旋转。
因为最后一个节点加到了右子树的右子树，就要想办法给右子树的左子树加点料，因此需要逆时针旋转，将 24 变成根节点，12 右旋成 24 的左子树，就变成了这样（有点丑哈哈）：
这时又恢复了平衡，再添加 37 到 28 的右子树，还算平衡：
这时如果再添加一个 30，它就需要在 37 的左子树：
这时我们可以看到这个树又不平衡了，以 24 为根节点的树，明显右边太重，左边太稀，想要保持平衡就 24 得让位给 28，然后变成这样：
丑了点，但的确保持了平衡。
依次类推，平衡二叉树在添加和删除时需要进行旋转保持整个树的平衡，内部做了这么复杂的工作后，我们在使用它时，插入、查找的时间复杂度都是 O(logn)，性能已经相当好了。