二叉树

1 重点概念

1.1 节点概念

节点是数据结构中的基础,是构成复杂数据结构的基本组成单位。

2 树

2.1 定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中: 1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点; 2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

此外,树的定义还需要强调以下两点: 1)n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。 2)m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

2.2 结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的

节点的度:结点拥有的子树数目称为结点的度,叶子结点 就是度为0的结点

3 二叉树

3.1 定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

一棵典型的二叉树如下图所示:

3.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点: 1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。 2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。 3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

3.3 二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2(i-1) 个节点 。(i>=1) 2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2(k)-1个节点。(k>=1) 3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。 4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。 5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; (2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点; (3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

3.4 斜树

斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

图3.2 左斜树

图3.3 右斜树

3.5 满二叉树

满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。 满二叉树的特点有: 1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2)非叶子结点的度一定是2。 3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

3.6 完全二叉树

完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。 图3.5展示一棵完全二叉树

图3.5 完全二叉树

特点: 1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。 2)最下层的叶子结点集中在树的左部。 3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。 4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。 5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。 :满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。

3.7 二叉树的存储结构

3.7.1 顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。

图3.6

图3.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式,如图3.7表示:

图3.7 顺序存储

由图3.7可以看出,当二叉树为完全二叉树时,结点数刚好填满数组。 那么当二叉树不为完全二叉树时,采用顺序存储形式如何呢?

例如:对于图3.8描述的二叉树:

图3.8.png

其中浅色结点表示结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储结构如图3.9所示:

图3.9

其中,∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现,顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。 那么对于图3.3所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图3.10所示:

图3.10

由图3.10可以看出,对于这种右斜树极端情况,采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此,顺序存储一般适用于完全二叉树。

3.7.2 二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求,那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图3.11所示:

图3.11

定义结点代码:

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

则图3.6所示的二叉树可以采用图3.12表示。

图3.12

图3.12中采用一种链表结构存储二叉树,这种链表称为二叉链表。

3.8 二叉树遍历

二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

3.8.1 定义

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。 二叉树的访问次序可以分为四种:

前序遍历 中序遍历 后序遍历 层序遍历

前,中,后只是指父节点遍历的顺序,前序就是 父节点->左子树->右子树,中序是 左子树->父节点->右子树,后序是 左子树 -> 右子树 ->父节点

3.8.2 前序遍历

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

3.13

图3.13所示二叉树访问如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,故输出A; 继续向左访问,第一次访问结点B,故输出B; 按照同样规则,输出D,输出H; 当到达叶子结点H,返回到D,此时已经是第二次到达D,故不在输出D,进而向D右子树访问,D右子树不为空,则访问至I,第一次到达I,则输出I; I为叶子结点,则返回到D,D左右子树已经访问完毕,则返回到B,进而到B右子树,第一次到达E,故输出E; 向E左子树,故输出J; 按照同样的访问规则,继续输出C、F、G;

则3.13所示二叉树的前序遍历输出为: ABDHIEJCFG

3.8.3 中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

图3.13所示二叉树中序访问如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H; 到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,故输出H; H右子树为空,则返回至D,此时第二次到达D,故输出D; 由D返回至B,第二次到达B,故输出B; 按照同样规则继续访问,输出J、E、A、F、C、G;

则3.13所示二叉树的中序遍历输出为: HDIBJEAFCG

3.8.4 后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

图3.13所示二叉树后序访问如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H; 到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,不输出H; H右子树为空,则返回至H,此时第三次到达H,故输出H; 由H返回至D,第二次到达D,不输出D; 继续访问至I,I左右子树均为空,故第三次访问I时,输出I; 返回至D,此时第三次到达D,故输出D; 按照同样规则继续访问,输出J、E、B、F、G、C,A;

则图3.13所示二叉树的后序遍历输出为: HIDJEBFGCA

虽然二叉树的遍历过程看似繁琐,但是由于二叉树是一种递归定义的结构,故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。 递归实现代码如下:

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
    PreOrderTraverse(T->lchild);    /*再先序遍历左子树*/
    PreOrderTraverse(T->rchild);    /*最后先序遍历右子树*/
}


/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
    InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}


/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);   /*先后序遍历左子树*/
    PostOrderTraverse(T->rchild);   /*再后续遍历右子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
}
3.8.5 层次遍历

层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图3.13所示二叉树的层次遍历结果为: ABCDEFGHIJ 层次遍历的详细方法可以参考二叉树的按层遍历法

3.8.6 遍历常考考点

对于二叉树的遍历有一类典型题型。 1)已知前序遍历序列和中序遍历序列,确定一棵二叉树。 例题:若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF,中序遍历为CBAEDF,请画出这棵二叉树。 分析:前序遍历第一个输出结点为根结点,故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间,故结点A的左子树中结点有CB,右子树中结点有EDF。 如图3.14所示:

图3.14

按照同样的分析方法,对A的左右子树进行划分,最后得出二叉树的形态如图3.15所示:

图3.15.png

2)已知后序遍历序列和中序遍历序列,确定一棵二叉树。 后序遍历中最后访问的为根结点,因此可以按照上述同样的方法,找到根结点后分成两棵子树,进而继续找到子树的根结点,一步步确定二叉树的形态。 :已知前序遍历序列和后序遍历序列,不可以唯一确定一棵二叉树。

平衡二叉树

平衡二叉树的提出就是为了保证树不至于太倾斜,尽量保证两边平衡。因此它的定义如下:

  1. 平衡二叉树要么是一棵空树
  2. 要么保证左右子树的高度之差不大于 1
  3. 子树也必须是一颗平衡二叉树

也就是说,树的两个左子树的高度差别不会太大。

那我们接着看前面的极端情况的二叉排序树,现在用它来构造一棵平衡二叉树。

以 12 为根节点,当添加 24 为它的右子树后,根节点的左右子树高度差为 1,这时还算平衡,这时再添加一个元素 28:

img

这时根节点 12 觉得不平衡了,我左孩子一个都没有,右边都有俩了,超过了之前说的最大为 1,不行,给我调整!

于是我们就需要调整当前的树结构,让它进行旋转。

因为最后一个节点加到了右子树的右子树,就要想办法给右子树的左子树加点料,因此需要逆时针旋转,将 24 变成根节点,12 右旋成 24 的左子树,就变成了这样(有点丑哈哈):

img

这时又恢复了平衡,再添加 37 到 28 的右子树,还算平衡:

img

这时如果再添加一个 30,它就需要在 37 的左子树:

img

这时我们可以看到这个树又不平衡了,以 24 为根节点的树,明显右边太重,左边太稀,想要保持平衡就 24 得让位给 28,然后变成这样:

img

丑了点,但的确保持了平衡。

依次类推,平衡二叉树在添加和删除时需要进行旋转保持整个树的平衡,内部做了这么复杂的工作后,我们在使用它时,插入、查找的时间复杂度都是 O(logn),性能已经相当好了。

Reference

深入学习二叉树(一) 二叉树基础

3 分钟理解完全二叉树、平衡二叉树、二叉查找树

results matching ""

    No results matching ""